Les probabilités des combinaisons au poker
Probabilités des combinaisons au poker sur cinq et sept cartes, avec dénombrements, différences d'univers et exemples de combinatoire.
Équipe Combinaison Poker
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Probabilités des combinaisons au poker sur cinq et sept cartes, avec dénombrements, différences d'univers et exemples de combinatoire.
Probabilités de chaque combinaison
Avec un jeu de 52 cartes, il existe 2 598 960 combinaisons possibles de 5 cartes. Voici combien de ces combinaisons correspondent à chaque main.
| Main | Nombre de combinaisons | Probabilité | 1 chance sur... |
|---|---|---|---|
| Quinte Flush Royale | 4 | 0,000154% | 649 740 |
| Autre quinte flush | 36 | 0,001385% | 72 193 |
| Carré | 624 | 0,0240% | 4 165 |
| Full | 3 744 | 0,144% | 694 |
| Couleur | 5 108 | 0,197% | 509 |
| Suite | 10 200 | 0,392% | 255 |
| Brelan | 54 912 | 2,11% | 47 |
| Double Paire | 123 552 | 4,75% | 21 |
| Paire | 1 098 240 | 42,3% | 2,4 |
| Carte Haute | 1 302 540 | 50,1% | 2 |
Visualisation des probabilités
Si on représente 100 % des mains possibles :
- 50,1% - Carte Haute (la moitié des mains)
- 42,3% - Paire
- 4,75% - Double Paire
- 2,11% - Brelan
- 0,39% - Suite
- 0,20% - Couleur
- 0,14% - Full
- 0,024% - Carré
- 0,001385% - Autre quinte flush
- 0,00015% - Quinte Flush Royale
Dans cette distribution de cinq cartes, 92,36% des mains finissent avec une carte haute ou exactement une paire. Ce constat descriptif ne donne pas la force d'une main privée sur un board donné.
Comment ces probabilités sont calculées
Les probabilités sont basées sur la combinatoire. Prenons l'exemple du carré :
Pour former un carré, il faut :
- Choisir la valeur du carré : 13 possibilités
- Prendre les 4 cartes de cette valeur : 1 façon (elles sont toutes prises)
- Choisir la 5e carte parmi les 48 restantes : 48 possibilités
Total = 13 × 1 × 48 = 624 combinaisons
Sur 2 598 960 mains possibles : 624 / 2 598 960 ≈ 0,024%
Probabilités détaillées par main
Une distribution n'a de sens qu'avec son univers : cinq cartes autonomes, meilleure main parmi sept cartes ou cartes futures conditionnées par une main connue. Les tableaux suivants séparent ces cas.
Ne pas confondre cinq cartes et meilleure main sur sept cartes
Le tableau d'ouverture classe une main autonome de cinq cartes parmi C(52,5) = 2 598 960. En Hold'em à la river, sept cartes sont disponibles et l'on retient la meilleure combinaison de cinq parmi elles. La distribution change donc complètement :
| Meilleure catégorie sur 7 cartes | Combinaisons sur 133 784 560 | Probabilité |
|---|---|---|
| Quinte flush royale | 4 324 | 0,00323% |
| Autre quinte flush | 37 260 | 0,02785% |
| Carré | 224 848 | 0,1681% |
| Full | 3 473 184 | 2,596% |
| Couleur hors quinte flush | 4 047 644 | 3,025% |
| Suite hors couleur | 6 180 020 | 4,619% |
| Brelan | 6 461 620 | 4,830% |
| Deux paires | 31 433 400 | 23,496% |
| Une paire | 58 627 800 | 43,823% |
| Carte haute | 23 294 460 | 17,412% |
Ces catégories sont exclusives et totalisent exactement les C(52,7) ensembles de sept cartes. Elles ne donnent pas directement la probabilité conditionnelle d'améliorer une main connue au flop.
Probabilités par type de main de départ
| Main de départ | Événement mesuré sur un flop aléatoire |
|---|---|
| Paire servie (Q♠ Q♥) | 11,76% de voir au moins une des deux Dames restantes, donc de faire brelan ou carré |
| Deux rangs distincts (A♠ K♥) | 32,43% de pairer au moins un des deux rangs |
| Connecteurs assortis (87s) | 32,43% pour pairer un rang, hors tirages |
| Ax assorti (A5s) | 32,43% pour pairer un rang, hors tirages |
| Deux cartes quelconques | Le résultat dépend du fait qu'elles soient appariées ou non |
Calcul combinatoire des quintes flush
Les quintes flush sont les catégories les plus rares de la distribution à cinq cartes. Il en existe exactement 40 sur 2 598 960, soit 0,001539%. La quinte flush royale (A-K-Q-J-10 d'une même couleur) ne représente que 4 de ces 40 combinaisons.
| Type de quinte flush | Nombre de combinaisons | Probabilite |
|---|---|---|
| Quinte flush royale (A-K-Q-J-10) | 4 | 0,000154% |
| Autre quinte flush (K-Q-J-10-9, etc.) | 36 | 0,001385% |
| Total | 40 | 0,001539% |
La main la plus frequente : la carte haute
Dans la distribution autonome de cinq cartes, 50,1177% des mains ne forment ni paire, ni suite, ni couleur. Cela ne signifie pas que la majorité des showdowns de Hold'em se gagnent à hauteur : la meilleure catégorie sur sept cartes n'est « carte haute » que dans 17,4119% des ensembles.
| Comparaison | Carte haute la plus forte |
|---|---|
| As-Roi contre As-Dame | Le Roi l'emporte |
| As-Dame contre As-Valet | La Dame l'emporte |
| Roi-Dame contre Roi-Valet | La Dame l'emporte |
| Roi-Valet contre Dame-Valet | Le Roi l'emporte |
En cas de carte haute identique, on compare la deuxieme carte, puis la troisieme, et ainsi de suite jusqu'a ce qu'une difference apparaisse. C'est ce qu'on appelle le "kicker".
Probabilites dans les confrontations
Les rangs seuls ne fixent pas une équité : les couleurs précises modifient les possibilités de couleur et de partage. Voici des confrontations entièrement spécifiées, énumérées sur les C(48,5) = 1 712 304 boards possibles. L'équité partage les pots à égalité par moitié.
| Confrontation | Victoires | Partages | Équité |
|---|---|---|---|
| A♠ A♥ contre 7♣ 2♦ | 87,240% | 0,364% | 87,422% |
| A♠ A♥ contre 6♠ 5♠ | 77,831% | 0,456% | 78,058% |
| K♠ K♥ contre A♣ K♦ | 69,613% | 0,789% | 70,008% |
| Q♠ Q♥ contre J♠ 10♠ | 82,004% | 0,442% | 82,225% |
| A♠ K♠ contre 2♣ 2♦ | 49,770% | 0,629% | 50,084% |
Ces valeurs sont des équités préflop face à une seule main précise, sans cartes mortes ni rake. Elles ne décrivent ni une range, ni une probabilité de gagner contre plusieurs adversaires.
À quoi servent ces probabilités ?
Ces distributions servent à vérifier un classement, distinguer un événement rare d'un événement fréquent et poser correctement un calcul conditionnel. Elles ne donnent pas directement l'équité contre une range ni la décision face à une mise.
Applications pratiques
Fréquences descriptives et décisions
Au-delà de la théorie, les probabilités des combinaisons ont des applications concrètes à la table. Une paire servie représente 78 des 1 326 mains de départ, soit 5,882%. Cette fréquence seule ne justifie pas une relance : position, ranges, tapis et structure de mise déterminent l'EV de l'action.
La rareté d'une quinte flush ne signifie pas qu'il faut « toujours » payer son tirage. Une décision dépend du nombre d'outs propres, du prix du call et du nombre de cartes qu'il permet réellement de voir.
La combinatoire permet de pondérer les mains possibles d'un adversaire en fonction des cartes visibles. Les actions observées modifient ensuite les poids de la range ; elles ne transforment pas toutes les combinaisons restantes en événements équiprobables.
Pourquoi ces probabilités sont importantes à la table
Le chiffre de 92,36% concerne cinq cartes tirées uniformément, pas une range arrivée sur un flop précis. Il ne permet donc pas de conclure qu'une mise avec une main moyenne est rentable sans définir les ranges, le sizing et les réponses adverses.
Prenons un exemple : le flop est J♠ 7♦ 2♣. Le chiffre générique de 32,43% concerne deux rangs privés distincts qui pairent au moins l'un d'eux sur un flop aléatoire. Une range adverse conditionnée par ses actions n'est pas une main uniforme, et « ne pas avoir pairé » n'implique pas automatiquement un fold : tirages, hauteurs et stratégies comptent aussi.
Quand le board permet une couleur ou une quinte, il faut compter les combinaisons compatibles avec la range et l'action. La texture seule ne dit pas combien de ces combinaisons l'adversaire possède effectivement.
Avec une paire servie, la probabilité de voir au moins une des deux cartes restantes de ce rang au flop est 1 − C(48,3)/C(50,3) = 11,755%. Cela inclut les flops contenant les deux cartes restantes, qui donnent un carré. La viabilité d'un set-mining dépend ensuite du prix préflop, des tapis effectifs, de la range adverse et de la possibilité de gagner quand l'amélioration arrive.
Références
- MathWorld, tableau exact des catégories sur cinq et sept cartes
- MathWorld, formule du coefficient binomial
- Carnegie Mellon University, travaux académiques sur le calcul au poker
Définitions et repères
Quelle est la probabilité de recevoir une quinte flush ?
Dans l'univers autonome de cinq cartes, les 40 quintes flush représentent 0,001539% des mains, soit environ 1 sur 64 974. Ce n'est pas la fréquence d'une meilleure main de Hold'em sur sept cartes, qui vaut 41 584 / 133 784 560 = 0,03108%.
Combien de combinaisons de cartes hautes existe-t-il ?
Il y a exactement 1 302 540 combinaisons de carte haute sur 2 598 960 mains possibles (5 cartes). Cela représente 50,1 % de toutes les mains autonomes de cinq cartes. C'est la catégorie la plus fréquente dans cet univers.
Une paire d'As est-elle la meilleure catégorie de départ ?
Oui, AA est la meilleure catégorie de départ au Texas Hold'em. Son équité exacte dépend toutefois des quatre couleurs précises de la confrontation ; les pourcentages contre « 72 » ou « 65 assorti » ne sont pas uniques tant que ces cartes ne sont pas fixées.
Qu'est-ce que le calcul des combinaisons au poker ?
Le calcul des combinaisons consiste à dénombrer les façons d'obtenir une main donnée. Il existe 6 combinaisons de AA (4 As pris 2 à 2) et 16 combinaisons de AK (4 As multipliés par 4 Rois).
Quelle est la différence entre probabilité et cote ?
La probabilité de recevoir AA est 6/1 326 = 0,4525%, soit environ 1 fois sur 221 mains. Les odds contre cet événement sont d'environ 220 contre 1. Une cote du pot décrit un autre rapport : le coût du call par rapport au pot final après ce call.
Les fréquences à cinq cartes décrivent-elles le flop ?
Non. Un flop ne contient que trois cartes communes, tandis que le tableau d'ouverture classe cinq cartes autonomes et celui du Hold'em classe la meilleure combinaison parmi sept cartes à la river. Pour deux rangs privés distincts, la chance d'en pairer au moins un au flop est 32,43%, mais « ne pas pairer » n'est pas synonyme de n'avoir ni tirage ni main faite grâce au board.
Voir notre guide complet des probabilités au poker.
Découvrez les probabilités préflop pour chaque main de départ.
Pour le calcul des outs, consultez notre guide détaillé.
Combinatoire avancée
La combinatoire dénombre les mains compatibles avec les cartes connues. Elle ne fournit pas une range « exacte » : les actions servent à pondérer les combinaisons encore possibles.
Calculer le nombre de combinaisons d'une main
Pour chaque type de main, voici comment calculer le nombre de combinaisons possibles :
| Type de main | Calcul | Nombre de combinaisons |
|---|---|---|
| Paire (ex: AA) | C(4,2) | 6 |
| Deux cartes assorties (ex: AKs) | 4 (une par couleur) | 4 |
| Deux cartes dépareillées (ex: AKo) | 4 × 3 | 12 |
| AK total (toutes formes) | 4 × 4 | 16 |
| Toutes les paires | 13 × 6 | 78 |
| Toutes les combinaisons de 2 cartes | C(52,2) | 1 326 |
Éliminer les combinaisons impossibles
Quand vous connaissez certaines cartes, vous éliminez les combinaisons qui les contiennent. Avec A♠ K♥ sur A♣ 7♦ 2♠, il reste deux As et trois Rois disponibles : un adversaire possède donc 2 × 3 = 6 combinaisons possibles d'AK, et non 9.
Le blocage : pourquoi certaines mains sont moins probables
Le concept de blocage (blocker) est essentiel pour affiner votre lecture. Si vous détenez un As, la probabilité que votre adversaire ait AA est divisée par 2 (de 6 combinaisons à 3), et la probabilité qu'il ait AK est réduite de 16 à 12 combinaisons.
| Votre main | Combinaisons d'AA adverses | Combinaisons d'AK adverses |
|---|---|---|
| Aucun As | 6 | 16 |
| Un As (ex: A♥) | 3 | 12 |
| Deux As (AA) | 1 | 8 |
| As et Roi (AK) | 3 | 9 |
Application pratique de la combinatoire
Prenons un exemple concret. Vous relancez préflop avec K♠ Q♠. Votre adversaire serré 3-bet. Vous estimez sa range à {AA, KK, QQ, AK}. Combien de combinaisons cela représente-t-il ?
| Main | Combinaisons |
|---|---|
| AA | 6 |
| KK | 6 |
| 6 | |
| AK | 16 |
| Total | 34 |
Si vous avez K♠ Q♠, il reste 6 combinaisons de AA, 3 de KK, 3 de QQ et 12 de AK. La range passe donc de 34 à 24 combinaisons, pas 27. Il faut ensuite pondérer l'équité contre chacune.
Ratio combinaisons value / combinaisons bluff
Dans le modèle simplifié d'une range de mise river composée seulement de value bets et de bluffs, une part de bluffs égale à un tiers implique 5 bluffs pour 10 value bets. Ce ratio n'est pas universel : il dépend du sizing, des actions possibles et des ranges qui atteignent la river.
Préciser l'univers du calcul
Un pourcentage n'est utile que si l'on sait quelles cartes sont tirées et quelles informations sont déjà connues. Le tableau d'ouverture décrit une main autonome de cinq cartes choisies parmi cinquante-deux. Une décision de Texas Hold'em porte sur un autre univers : deux cartes privées sont connues, des cartes communes peuvent déjà être visibles et plusieurs cartes restent à venir. Il serait donc incorrect d'appliquer directement la fréquence d'une couleur sur cinq cartes à un tirage observé au turn.
À la table, procédez dans cet ordre : notez les cartes visibles, retirez-les du paquet inconnu, identifiez les cartes qui améliorent réellement votre main, puis comparez cette chance d'amélioration au prix demandé. Certaines cartes apparentes peuvent compléter votre combinaison tout en donnant une main supérieure à l'adversaire. Elles ne doivent pas être comptées comme des issues sûres. Cette distinction relie la combinatoire au calcul des outs et évite de transformer un tableau descriptif en règle de décision automatique.
Questions fréquentes (FAQ)
Pourquoi les probabilités à cinq et sept cartes diffèrent-elles autant ?
Avec sept cartes, on choisit la meilleure combinaison parmi 21 sous-ensembles de cinq cartes. Les catégories fortes apparaissent donc plus souvent que dans un tirage autonome de cinq cartes.
Une catégorie rare possède-t-elle toujours une forte équité ?
La rareté décrit une distribution avant de connaître les cartes. L'équité compare une main ou une range aux mains adverses possibles dans une situation précise.
Comment une carte visible modifie-t-elle les combinaisons adverses ?
Toute combinaison contenant cette carte devient impossible. Il faut recalculer les choix restants rang par rang, puis pondérer les combinaisons selon les actions observées.
Les partages comptent-ils dans une équité ?
Oui. En heads-up, un partage contribue pour la moitié du pot à l'équité de chaque joueur. Avec davantage de joueurs, la fraction dépend du nombre de mains à égalité.
Pourquoi une carte qui améliore la main n'est-elle pas toujours un out ?
Elle peut aussi compléter une main supérieure ou provoquer un partage. Un out utile à une décision doit être évalué contre la range adverse et les runouts possibles.